105分解质因数

105分解质因数为105=5×3×7,所以105的质因数有3,5,7。每个合数都可以写成几个质数相乘的形式,其中每个质数都是这个合数的因数,把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。如30=2×3×5。分解质因数只针对合数。

把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式,即求质因数的过程叫做分解质因数。

105分解质因数(图1)

分解质因数只针对合数。(分解质因数也称分解素因数)求一个数分解质因数,要从最小的质数除起,一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法,和除法的性质相似,还可以用来求多个数的公因式。

不存在最大质数的证明:(使用反证法)

假设存在最大的质数为N,则所有的质数序列为:N1,N2,N3……N

设M=(N1×N2×N3×N4×……N)+1,

可以证明M不能被任何质数整除,得出M也是一个质数。

而≥N,与假设矛盾,故可证明不存在最大的质数。

求最大公因数的一种方法,也可用来求最小公倍数。

求几个数最大公因数的方法,开始时用观察比较的方法,即:先把每个数的因数找出来,然后再找出公因数,最后在公因数中找出最大公因数。

例1、求12与18的最大公因数。

12的因数有:1、2、3、4、6、12。

18的因数有:1、2、3、6、9、18。

12与18的公因数有:1、2、3、6。

12与18的最大公因数是6。

这种方法对求两个以上数的最大公因数,特别是数目较大的数,显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。

12=2×2×3

18=2×3×3

12与18都可以分成几种形式不同的乘积,但分成质因数连乘积就只有以上一种,而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数,因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看,12与18都有公约数2和3,而它们的乘积2×3=6,就是12与18的最大公约数。

采用分解质因数的方法,也是采用短除的形式,只不过是分别短除,然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除,则更容易找出公约数和最大公约数。

从短除中不难看出,12与18都有公约数2和3,它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较,可以发现:不仅结果相同,而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数,而两个数的最大公约数,就是这两个数的公共质因数的连乘积。

实际应用中,是把需要计算的两个或多个数放置在一起,进行短除。

在计算多个数的最小公倍数时,对其中任意两个数存在的约数都要算出,其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。

只含有1个质因数的数一定是亏数。

解:
105 180
^ ^
(21) (5) (18) (10)
^ ^ ^
(3) (7) (9) (2) (2) (5)
^
(3) (3)

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